가격 탄력성(Price Elasticity)과 총수입(Total Revenue)

총수입(Total Revenue)는 가격(P)과 수량(Q)의 곱으로 얻어진다. TR = P X Q

 

아래와 같이 가격 비탄력적인 수요 곡선에서는 가격이 오를수록 총수입이 증가한다.

 

 

예를 들어 수요곡선이 완벽히 비탄력적인 극단적인 상황을 생각해보자. 가격(P)이 아무리 크게 변해도 수량(Q) 변화가 0이라는 뜻이고, 이는 Q-P 그래프에서 기울기가 무한대, 즉 아래와 같이 수직선이라는 뜻이다. (가격 탄력성을 계산할 때 P의 변화율이 분모, Q의 변화율이 분자에 있어서 P가 x축이고 Q가 y축인 그래프에서는 ㅡ 형태의 수평선 형태로 나타나겠으나, 현재의 Q-P 그래프에서는 x,y축이 반대이기 때문에 1자 형태의 수직선으로 나타난다고 생각하면 쉽다.)

 

반대로 가격 탄력적인 수요 곡선에서는 아래와 같이 가격이 오를수록 총수입이 감소한다.

 

예를 들어 수요곡선이 완벽히 탄력적인 극단적인 상황을 생각해보자. 가격(P)이 아주 극소량만 변해도 수량(Q)이 무한대에 가깝게 변한다는 뜻이고, 이는 Q-P 그래프에서 기울기가 0, 즉 아래와 같이 수평선에 가깝다는 뜻이다. (가격 탄력성을 계산할 때 P의 변화율이 분모, Q의 변화율이 분자에 있어서 P가 x축이고 Q가 y축인 그래프에서는 1자의 수직선 형태로 나타나겠으나, 현재의 Q-P 그래프에서는 x,y축이 반대이기 때문에 ㅡ 형태의 수평선으로 나타난다고 생각하면 쉽다.) 아래에서 보는 바와 같이 (수식을 쓰지 않고 설명하자면) Q1이 Q2로 상승하면 총수입이 증가하고, 이는 Q가 아닌 P가 상승할 때는 총수입이 감소한다고 생각하면 편하다.

 

 

만약 가격 탄력성이 "단위 탄력적"이라면 아래와 같이 가격 변화와 관계 없이 총수입은 일정할 것이다. 

 

 

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[증명]

 

가격 비탄력적인 수요 곡선에서 가격이 상승하면 총수입도 상승한다는 것을 수학적으로 증명해보자. 지난 포스팅에서 배웠던 바와 같이 가격 탄력성 식은 아래와 같이 정의되며, 비탄력적인 경우는 그 절대값이 1보다 작다.

 

수량 Q를 Q=f(P)라는 P에 대한 함수로 정의해보자. 시작지점을 1, 도착지점을 2라고 부르면, Q1=f(P1)에서 Q2=f(P2)로 변하는 것이다. P1에서 P2로 가격이 상승할 때 (P2>P1), Q2는 Q1보다 감소해야한다 (Q2<Q1). 따라서 아래와 같이 절댓값을 풀어줄 때 Q2-Q1을 Q1-Q2 (>0)로 바꾸면서 풀어줄 수 있고, Q1, Q2에 f(P1)과 f(P2)를 대입한다. (가격이 상승할 때 Q 값도 상승하는 경우를 "불안정하다"라고 표현하는데 여기서는 이 경우는 배제한다.) 참고로 아래 식은 P1,Q1일 때의 가격 탄력성을 구한 것이다.

 

 

이를 P1*f(P1)에 대해서 정리하면 아래와 같은 식이 나온다. 지금으로써는 어떤 의미를 도출할 수 있는 부등식은 아니지만 P2, Q2 일 때의 가격 탄력성 부등식을 정리하다보면 어디에 쓰일지 답이 나온다. 

 

 

마찬가지로 P2, Q2 일때의 가격 탄력성을 아래와 같이 계산해보자.

 

이를 P2*f(P2)에 대해서 정리하면,

와 같은 부등식이 얻어진다. 이 부등식을 앞서 얻었던 P1*f(P1)에 관한 부등식과 엮으면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다. 

 

가운데 변을 제외하고 좌변과 우변을 살펴보면 P1*f(P1)이 P2*f(P2)보다 작다는 사실을 알 수 있다. 맨 처음에 언급했던 것처럼 P*Q, 즉 P*f(P)는 곧 총 수입이기 때문에, 가격 비탄력적인 수요 곡선에 대하여 P1에서 P2로 가격이 상승하면 총수입1보다 총수입2가 더 커진다는 것을 알 수 있다.